Міністерство освіти і науки України
Національний університет «Львівська політехніка»
Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій
Кафедра автоматизованих систем управління
Звіт
до лабораторної роботи №3
з дисципліни “Основи цифрової обробки сигналів”
на тему
ДОСЛІДЖЕННЯ СПЕКТРІВ АР-МОДЕЛЕЙ
Мета роботи: навчитися досліджувати спектри АР-моделей.
Авторегресійні моделі
Оскільки цифрові фільтри прийнято ділити на три типи, - нерекурсивні, рекурсивні й авторегресивні, - одержуєм три моделі процесу :
ковзаючого середнього (КС);
авторегресії ковзаючого середнього (АРКС);
авторегресії (АР).
Спектральний аналіз зводиться в даному випадку до рішення оптимізаційної задачі, тобто до пошуку таких параметрів моделі, при яких вона найбільш близька до реального сигналу. В Matlab, в пакеті Signal Processing, реалізовані декілька авторегресійних оцінок спектру, а також оцінки, що базуються ще на двух методах, - на аналізі власних чисел й векторів кореляційної матриці сигналу: MUSIC (MUltiple SIgnal Classification) і EV (EigenVectors).
Кожному методу авторегресійного аналізу в пакеті Signal Processing відповідають дві функції — функція обчислення коефіцієнтів моделі й функція власне спектрального аналізу. Функція спектрального аналізу викликає функцію обчислення коефіцієнтів моделі, а потім виконує обчислення спектру. Імена функцій зведено в наступну таблицю.
Метод
Функція розрахунку коефіцієнтів моделі
Функція спектрального аналізу
Коваріаційний
arcov
pcov
Модифікований коваріаційний
armcov
pmcov
Берга
arburg
pburg
Авторегресійний Юла-Уолкера
aryule
pyulear
Синтаксис функцій спектрального аналізу дуже схожий. Для авторегресійної оцінки Юла-Уолкера:
[Pxx,f] = pyulear(x,p,nfft,fs)
де p – порядок моделі. Інші позначення співпадають з такими для непараметричних оцінок спектру.
Оскільки складові частини процесу статистично незалежні, враховуючи співвідношення Вінера-Хінчіна
,
одержуємо
, (2)
де
, (3)
- верхня гранична частота шуму .
Графік спектру суміші (2) побудувати неможливо, оскільки спектр необмеженого в часі гармонічного сигналу складається з двох дельта-функцій, що приймають безкінечно великі значення при (рис.1).
На практиці завжди маємо відрізок, довжиною , реалізації випадкового процесу. Тому замість спектру потужності на практиці оперуємо із оцінкою спектру:
,
.
Можна показати, що математичне чекання відповідної оценки відрізку гармонічного процесу має вигляд:
(4)
Тепер маємо ситуацію, максимально наближену до реальності, що дозволяє обчислити відношення сигнал-шум на виході спектроаналізатору. Якщо за сигнал на виході спектроаналізатору прийняти висоту піку математичного чекання (4), а за шум - математичне чекання рівня спектру шуму (насправді за рівень шуму приймають не рівень спектру шуму, а середньоквадритчну похибку оцінки спектра шуму – але можна показати, що для оцінки у вигляді періодограми ці два різні визначення відношення сигнал-шум співпадають), маємо:
, (5)
тобто виграш у відношенні сигнал-шум за рахунок спектрального аналізу сягає величини
. (6)
Звідси
,
.
Обрахувавши та враховучи, що за теоремою Котельнікова неперервний процес можна дискретизувати з кроком , одержуємо корисну для планування експерименту формулу, що дозволяє обрахувати потрібну кількість відліків процесу:
Результати виконаної роботи
X0 = randn(1, 1000);
a = 0.5;
X = filter(1, [1 -a], X0);
pyulear(X, 3, [], 1);
Висновок
Під час лабораторної роботи я навчилась досліджувати спектри АР-моделей.
